数字信号处理Chapter01

摘要

本文主要为数字信号处理课程第一章笔记。

1.1 符号表示及基础

离散时间信号通常用序列：
$\{x(n)\}$ ，$n$ 为 $0,1,2 ...$ , $x(n)$ 表示为序列中第 $ n $ 个样本值。

$\{·\}$ 表示全部样本值的集合

$\{x*(n)\}$ 表示复序列的共轭

连续时间序列 $x\{t\}$ 与离散时间序列 $\{x(n)\}$ 的关系：

$$x(n) = x_a(t) |_{t = nT} =x_a(nT) \tag {1.1}$$

其中采样频率$f_s = \frac{1}{T}$（T为采样周期，即两个样本间的时间间隔）

周期序列表示为 $ \widetilde{x}(n) $
其中

$$\widetilde{x}(n) = x(n+kN) , 0 \leq n \leq N-1 ,k为任意整数 \tag{1.2}$$

1.1.1 常见典型序列

1. 单位脉冲序列

$$\delta (n)=\left \{ \begin{aligned} 1, n = 0\\ 0, n \neq 0 \\ \end{aligned} \right. \tag{1.3}$$

2. 单位阶跃序列

$$u (n)=\left \{ \begin{aligned} 1, n \geq 0\\ 0, n < 0 \\ \end{aligned} \right. \tag{1.4}$$

3. 矩形序列

$$R_N (n)=\left \{ \begin{aligned} 1, n \leq n \leq N-1 \\ 0, n < 0,n \geq N \\ \end{aligned} \right. \tag{1.5}$$

4. 实指数序列

$$x(n) = a^n u(n) \tag{1.6}$$

$ a \neq 0, |a| < 1 $ 时收敛，$|a| \geq 1$ 时发散

5. 正弦序列

$$x(n) = sin(\omega_0n) \tag{1.7}$$

$\omega_0$为数字角频率，单位为弧度 $rad$

6. 复指数序列

$$x(n) = (re^{j\omega_0})^n = r^n[cos(\omega_0n)+jsin(\omega_0n)] \tag{1.8}$$

1.1.2 序列的运算

1. 序列的加法

$$z(n) = x(n) + y(n) \tag{1.9}$$

2. 序列的相乘

$$z(n) = x(n) y(n) \tag{1.10}$$

3. 序列的位移

$$z(n) = x(n-n_0) \tag{1.11}$$

当 $ n_0 > 0 $ 时 $z(n)$ 是 $ x(n) $ 的延迟；当 $ n_0 < 0 $ 时 $z(n)$ 超前于 $ x(n) $ ；

4. 序列的能量及序列的绝对值
   序列的能量定义为序列样本值的平方和

$$S = \sum^{\infty}_{n = -\infty} |x(n)|^2 \tag{1.12}$$

如果序列 $x(n)$ 满足 $S < \infty$ 则为平方可和序列
如果序列满足

$$\sum^{\infty}_{n = -\infty} |x(n)| < \infty \tag{1.13}$$

则为绝对可和序列
如果序列的每一个样本值的绝对值均小于某一个有限的正整数 $B_x$ 则 $x(n)$ 为有界序列，即

$$|x(n)| \leq B_x < \infty \tag{1.14}$$

5. 实序列的偶部和奇部
   任何序列均可以分解成偶对成序列和奇对称序列的和的形式，即

$$x(n) = x_e(n) + x_o(n) \tag{1.15}$$

$x_e(n)$ 和 $x_o(n)$ 分别称为 $x(n)$ 的偶部和基部，其分别等于

$$x_e(n) = \frac{1}{2}[x(n) + x(-n)] \tag{1.15a}$$

$$x_o(n) = \frac{1}{2}[x(n) - x(-n)] \tag{1.15b}$$

6. 任意序列的单位脉冲表示
   任一序列 $x(n)$ 都可以表示成单位脉冲序列移位的加权和，即

$$x(n) = \sum^{\infty}_{m = -\infty}x(m)\delta(n-m) \tag{1.16}$$

1.2 离散时间信号的傅里叶变换与 $ z $ 变换

1.2.1 离散时间信号的傅里叶变换

离散时间傅里叶变换 $ DTFT $ (discrete-time Fourier tansform) ,序列的 $DTFT$ 定义为：

$$X(e^{j\omega}) = \sum^{\infty}_{n = -\infty}x(n)e^{-j\omega n},\omega = \frac{2\pi f}{f_S} \tag{1.17}$$

式中， $ \omega $ 为数字角频率，它是频率 $f$ 对采样频率 $f_s$ 作归一化后的角频率。
$X(e^{j\omega})$ 时 $\omega$ 的连续函数，且周期为 $2\pi$
式（$1.17$）级数不一定总是收敛的，当 $x(n)$ 绝对可和时，它的 $DTFT$ 一定存在。
离散时间信号的傅里叶逆变换（$IDTFT$）：

$$x(n) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} X(e^{j\omega})e^{j\omega m} d\omega \tag{1.18}$$

$x(n)$ 和 $X(e^{j\omega})$ 对应关系可表示为：$X(e^{j\omega}) = DTFT[x(n)]$ ,$x(n)=IDTFT[X(e^{j\omega})]$

$X(e^{j\omega})$ 的几种表示方法：

$$X(e^{j\omega}) = Re[X(e^{j\omega})]+jIm[X(e^{j\omega})] = |X(e^{j\omega})|e^{j\phi(\omega)} \tag{1.19}$$

$Re[·]$ 和 $Im[·]$ 表示取实部和虚部。
$|X(e^{j\omega})|$ 为离散序列 $x(n)$ 的幅度谱，$\phi(\omega)$为离散序列的相位谱。

$DTFT$ 的主要特性

序列	$DTFT$
$ax(n)+by(n)$	$aX(e^{j\omega})+Y(e^{j\omega})$
$x^*(n)$	$X^*(e^{-j\omega})$
$x^*(-n)$	$X^*(e^{j\omega})$
$x(n-n_0)$	$e^{-jn_0\omega}X(e^{j\omega})$
$e^{j\omega_0 n}x(n)$	$X(e^{j(\omega - \omega_0)})$
$Re[x(n)]$	$X_e(e^{j\omega})$ [$X(e^{j\omega})$ 的共轭偶对称部分]
$jIm[x(n)]$	$X_o(e^{j\omega})$ [$X(e^{j\omega})$ 的共轭奇对称部分]
$x(n)$ 为实序列	$X(e^{j\omega}) = X^*(e^{-j\omega})$
	$Re[X(e^{j\omega})] = Re[X(e^{-j\omega})]$
	$Im[X(e^{j\omega})] = -Im[X(e^{-j\omega})]$
	$arg[X(e^{j\omega})] = -arg[X(e^{-j\omega})]$
$x_e(n)$ [$x(n)$ 的共轭偶对称部分]	$Re[X(e^{j\omega})]$
$x_o(n)$ [$x(n)$ 的共轭偶奇称部分]	$jIm[X(e^{j\omega})]$

1.2.2 $z$变换

序列 $x(n)$ 的 $z$ 变换定义为：

$$X(z) = \sum^{\infty}_{n = -\infty}x(n)z^{-n} ,(n = 0时为单边z变换) \tag{1.20}$$

上式中 $z$ 为复变量，也可记为 $\mathscr{Z}[x(n)] = X(z)$
对于所有的序列或所有的 $z$ 值，$z$变换并不总是收敛，使 $z$ 变换收敛的 $z$ 值的集合称作收敛区域，一般为 $z$ 平面上的一个环形区域，该区域为:

$$R_{x^-} <|z|<R_{x^+} \tag{1.21}$$

其中 $R_{x^-}$ 可以小到0，$R_{x^+}$ 可以大到 $\infty$

以下讨论几种序列的收敛域

1. 有限长序列
   仅有有限个数的序列值是非零值，从而有:

$$X(z) = \sum^{n_2}_{n = n_1} x(n) z^{-n} \tag{1.22}$$

其中 $n_1,n_2$ 为有限整数，分别为 $x(n)$ 的起点和终点。除了当 $n_1 < 0$ 时 $z = \infty$ 以及 $n_2>0$ 时 $z=0$ 之外， $z$ 所在的区域均收敛，即有限长序列的收敛区域至少是：

$$0<|z|<\infty$$

其收敛区域可能包括 $z=0$ 或包括 $z=\infty$

2. 右边序列
   右边序列为 $n<n_1$ 时 $x(n)=0$ 的序列， $z$ 变换为：

$$X(z) = \sum^{\infty}_{n = n_1} x(n) z^{-n} \tag{1.23}$$

右边序列的收敛域是一个半径为 $R_{x^-}$ 的圆的外部，即：

$$|Z|>R_{x^-}$$

当 $n_1 \geq 0$ 时 $z$ 变换在 $z = \infty$ 处收敛，反之 $n_1 < 0$ 时 $z$ 变换在 $z = \infty$ 处将不收敛

3. 左边序列
   左边序列为 $n > n_2$ 时 $x(n)=0$ 的序列， $z$ 变换为：

$$X(z) = \sum^{n_2}_{n = -\infty} x(n) z^{-n} \tag{1.24}$$

左边序列的收敛域是一个半径为 $R_{x^-}$ 的圆的内部，即：

$$|z|<R_{x^+}$$

若$n_2 < 0$ 则左边序列的 $z$ 变换在 $z = 0$ 处将收敛

4. 双边序列
   双边序列可视为一个左边序列与一个右边序列之和，其 $z$ 变换的收敛域就是这两个序列 $z$ 变换的公共收敛区间

$$X(z) = \sum^{\infty}_{n = -\infty}x(n)z^{-n} =\sum^{\infty}_{n = 0} x(n) z^{-n} + \sum^{-1}_{n = -\infty} x(n) z^{-n} \tag{1.25}$$

第一个级数是右边序列，对 $|z|>R_{x^-}$ 收敛；第二个级数是左边序列，对 $|z|<R_{x^+}$ 。
若 $R_{x^-} < R_{x^+}$ ，则有一个形式为：

$$R_{x^-} <|z|< R_{x^+}$$

的公共收敛区域。若 $R_{x^-} > R_{x^+}$ ，则没有公共收敛区域，因此式（1.25）不能收敛。

1.2.3 逆$z$变换

已知函数 $X(z)$ 及其收敛域，反求序列的变换，其表示及变换关系式（柯西积分定理推导）为：

$$x(n) = \mathscr{Z}^{-1}[X(z)] = \frac{1}{2\pi j} \oint_C X(z)z^{n-1}dz \tag{1.26}$$

式中 $C$ 为 $X(z)$ 收敛域内的一条逆时针方向绕原点的闭合曲线

1.2.4 $z$变换的性质

$z$变换特性表

序列	$z$ 变换	收敛域
$x(n)$	$X(z)$	$ R_{x^-} <|z|< R_{x^+} $
$y(n)$	$Y(z)$	$ R_{y^-} <|z|< R_{y^+} $
$ax(n)+bx(n)$	$aX(z)+bY(z)$	$max[R_{x^-},R_{y^-}] <|z|< min[R_{x^+},R_{y^+}]$
$x(n+n_0)$	$z^{n_0}X(z)$	$ R_{x^-} <|z|< R_{x^+} $
$a^nx(n)$	$X(a^{-1}z)$	$|a|R_{x^-} <|z|< |a|R_{x^+}$
$nx(n)$	$-z\frac{dX(z)}{dz}$	$ R_{x^-} <|z|< R_{x^+} $
$x^*(n)$	$X^*(z^*)$	$ R_{x^-} <|z|< R_{x^+} $
$x(-n)$	$X(\frac{1}{z})$	$\frac{1}{R_{x^+}} <|z|< \frac{1}{R_{x^-}}$
$x(n)*y(n)$	$X(z)Y(z)$	$max[R_{x^-},R_{y^-}] <|z|< min[R_{x^+},R_{y^+}]$
$x(n)y(n)$	$\frac{1}{2\pi j}\oint_CX(v)Y(\frac{z}{v})v^{-1}dv$	$R_{x^-}R_{y^-} <|z|< R_{x^+}R_{y^+}$
$x(0) = X(\infty)$		$|z|>R_{x^-}$
$x(\infty) = Res[X(z),1]$		$(z-1)X(z)收敛于|z|\geq 1 $

1.2.5 $z$变换与$DTFT$的关系

$$X(z)|_{z = e^{j\omega}} =\sum^{\infty}_{n=-\infty}x(n)e^{-jn\omega} \tag{1.27}$$

当 $z = e^{j\omega}$ 时，$z$ 变换与 $DTFT$ 相等，即采样序列单位圆上的$z$变换就等于该序列的$DTFT$
由于$e^{j\omega} = e^{j(\omega + 2k\pi)}$ ,所以 $X(e^{j\omega})$ 是以 $2\pi$ 为周期的周期函数， $z$ 平面单位圆上一周正好对应 $X(e^{j\omega})$ 的一个周期。

1.2.6 Parseval 定理

设两个序列 $x(n),y(n)$ 则Paseval定理为：

$$\sum^{\infty}_{n=-\infty}x(n)y^*(n)=\frac{1}{2\pi j}\oint_CX(v)Y^*(\frac{1}{v^*})v^{-1}dv \tag{1.28}$$

上式中，积分围线取在 $X(v)$ 和 $Y^*(\frac{1}{v^*})$ 的收敛区域的交叠范围内。
Parseval定理的一个很重要的应用式计算序列的能量：

$$\sum^{\infty}_{n=-\infty}|x(n)|^2 = \sum^{\infty}_{n=-\infty}x(n)x^*(n)=\frac{1}{2\pi}\int^\pi_{-\pi}X(e^{j\omega})X^*(e^{j\omega})d\omega = \frac{1}{2\pi}\int^\pi_{-\pi}|X(e^{j\omega})|^2d\omega \tag{1.29}$$

1.3 离散时间系统

离散时间系统在数学上定义为将输入序列 $x(n)$ 映射成输出序列 $y(n)$ 的唯一性变换或运算，或者说将一个序列变换成另一个序列的系统。表示为：

$$y(n) = T[x(n)] \tag{1.30}$$

graph LR;
    A["输入序列x(n)"] --> B["运算T[·]"];
    B --> C["输出序列y(n)"];

算子 $T[·]$ 表示种种约束条件。

1.3.1 线性系统（Linear system）

满足叠加原理的系统具有线性特性。即若对两个激励 $x_1(n)$ 和 $x_2(n)$ 有：

$$T[ax_1(n)+bx_2(n)] = aT[x_1(n)]+bT[x_2(n)],a,b为任意常数 \tag{1.31}$$

线性系统满足叠加性原理，不满足上述关系的为非线性系统。

graph LR
    A["x1(n)"] --> B["T[·]"]
    B --> C["y1(n)"]
    X["x2(n)"] --> Y["T[·]"]
    Y --> Z["y2(n)"]
    M["ax1(n)+bx2(n)"] --> L["T[·]"]
    L --> N["ay1(n)+by2(n)"]

1.3.2 时不变（time-invariant）系统

时不变系统就是系统的参数不随时间而变化，不管输入信号作用的时间先后，输出信号响应的形状均相同，仅出现的时间不同。

$$T[x(n)] = y(n) T[x(n-n_0)] = y(n - n_0) \tag{1.32}$$

graph LR
    A["x(n)"] --> B["T[·]"]
    B --> C["y(n)"]
    X["x(n-n0)"] --> Y["T[·]"]
    Y --> Z["y(n-n0)"]

1.3.3 线性时不变（linear time-invariant, LTI）系统

1.3.4 稳定系统（stable system）和因果系统（causal system）

只要输入序列是有界的，其输出必定是有界的，这样的系统称为稳定系统，稳定系统的充要条件是其单位脉冲响应绝对可和，即：

$$\sum^{\infty}_{n=-\infty}|h(n)|<\infty$$

因果系统，就是系统的输出只取决于此时以及此时以前的输入（ $x(n),x(n-1),x(n-2)...$ 等）
一个线性时不变系统是因果系统的充要条件是

$$h(n) \equiv 0,n<0$$

通常将 $n<0$ 时等于 $0$ 的序列称为因果序列。